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확률부터 LLM까지, 원리부터 제대로 배우는 자기주도 학습 플랫폼
큰 수의 법칙 실습
처음 10번은 도박, 10,000번은 법칙 — 확률은 ‘한 번의 예언’이 아니라 ‘장기 비율’입니다
이 실습의 질문 — 동전이 앞면만 5번 나왔다면, 다음은 뒷면 차례일까?
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Ctrl K보험사·카지노·백신 통계가 전부 이 법칙 하나로 굴러갑니다
카지노는 오늘 밤 누가 잭팟을 터뜨릴지 전혀 모릅니다. 그런데도 연말 수익은 거의 정확히 예측합니다 — 개별 사건은 무작위지만 수만 번의 합은 법칙이기 때문입니다. 이 실습에서는 동전 하나로 그 법칙이 눈앞에서 만들어지는 과정을 봅니다. 요동치던 비율 곡선이 이론값 근처에서 잠드는 순간, 확률이라는 개념이 무엇을 약속하고 무엇을 약속하지 않는지가 분명해집니다.
이 페이지에서 배우고 나면
- 확률이 “다음 한 번”이 아니라 “수많은 반복의 비율”에 대한 진술임을 그래프로 설명할 수 있습니다.
- 앞면이 연달아 나와도 다음 확률은 변하지 않는 이유(도박사의 오류)를 개수 차이 그래프로 반박할 수 있습니다.
- 시행 수가 10배 늘 때 요동이 어떻게 줄어드는지 관찰하고, “가까워지지만 도달하지 않는다”를 말할 수 있습니다.
예측 먼저 — 실험 전에 답을 정해 보세요
예측 → 실험 → 확인
정답을 몰라도 괜찮습니다 — 먼저 예측을 정해야 시뮬레이션 결과가 기억에 남습니다. 예측을 고른 뒤 아래 시뮬레이션으로 직접 확인하고, 그다음 결과를 열어 보세요.
1. 공정한 동전을 10번 던졌더니 앞면이 8번 나왔습니다. 다음 10번에서는 어떻게 될까요?
2. 동전을 10만 번 던지면 앞면 비율은 어떻게 될까요?
동전 던지기 — 요동치다 잠드는 선
처음 10번은 도박, 10,000번은 법칙 — 누적 비율이 이론값에 다가가는 과정을 실측으로 봅니다.
시행 수
0
앞면 비율 p̂
—
이론 p
0.50
앞−뒤 개수 차
—
속도
동전의 편향 p (앞면 확률) = 0.50
실측 요약 — 이 실습이 보여주는 것
동전을 1번부터 10만 번까지 던지며, 앞면의 "비율"은 0.5로 수렴하지만 앞면과 뒷면의 "개수 차이"는 오히려 벌어질 수 있다는 것을 실측 그래프 두 개로 동시에 확인하는 실험입니다.
- 실제 10만 회 시행 실측 예: 앞면 비율의 오차는 n=100에서 0.060 → n=1,000에서 0.024 → n=100,000에서 0.0004로 줄어든다 — 이것이 큰 수의 법칙이다
- 같은 시행에서 앞뒤 개수 차이는 n=100에서 12번 → n=10,000에서 142번으로 오히려 커졌다 — 개수 차이의 이론 표준편차는 √n이라 n=100,000에서 약 316번 규모로 자란다
- 수렴 속도는 1/√n — 오차를 10분의 1로 줄이려면 시행을 100배 늘려야 한다
바로잡는 오개념: "앞면이 많이 나왔으니 이제 뒷면이 나올 차례"라는 도박사의 오류 — 큰 수의 법칙은 비율의 수렴이지, 개수를 되갚는 균형 장치가 아니다.
AI 튜터에게 물어보기
베타
— 정답 대신 힌트로 유도합니다. 지금 화면의 실험 상태를 알고 답해요.
예: “방금 결과가 이론과 다른데 왜죠?”, “이 값을 올렸는데 왜 반대로 변하죠?”
직접 해보기 — 실습 과제
- 10번의 도박: 리셋 후 “+1회”를 10번만 눌러 보세요. 비율이 0.3이 되기도, 0.8이 되기도 합니다. 이 10번만 보고 “이 동전은 불공정하다”고 판단할 수 있을까요?
- 10,000번의 법칙: 이어서 “+10,000회”를 눌러 보세요. 방금의 요동이 무색하게 곡선이 이론값 근처에 붙습니다. x축 로그를 켜서 초반의 혼돈과 후반의 안정을 한 화면에서 비교하세요.
- 도박사의 오류 반박: 보기를 “앞−뒤 개수 차”로 바꾸고 10,000번을 던지세요. 비율은 0.5로 갔는데 개수 차이는 0으로 돌아왔나요? 수십~수백 개씩 벌어져 있는 것이 정상입니다. 비율의 수렴은 “개수의 보정”이 아니라 “분모의 성장”이 만듭니다.
- 편향 동전 탐정: 편향 p를 0.55로 놓고, 몇 번쯤 던져야 공정한 동전(0.5)이 아니라는 확신이 드는지 관찰하세요. 100번? 1,000번? — 작은 차이일수록 많은 데이터가 필요하다는 감각이 뒤의 가설검정 실습으로 이어집니다.
- 10개의 운명: “10개 궤적 동시에”를 켜고 실행하세요. 출발은 제각각인 10개의 선이 전부 같은 곳으로 모입니다 — 개인의 운은 달라도 집단의 비율은 법칙을 따릅니다.
개념 정리 — 큰 수의 법칙
- 큰 수의 법칙(Law of Large Numbers): 독립 시행을 반복할 때 표본 비율(상대도수)이 이론 확률에 확률적으로 수렴한다는 정리. 야코프 베르누이가 1713년 『추측술(Ars Conjectandi)』에서 처음 증명했습니다.
- 수렴하는 것과 수렴하지 않는 것: 수렴하는 것은 비율(앞면 수 ÷ 시행 수)입니다. 앞면과 뒷면의 개수 차이는 시행이 늘수록 커지는 경향이 있습니다(대략 √n 규모).
- 독립성: 이 법칙의 전제는 각 시행이 서로 독립이라는 것 — 동전은 직전 결과를 기억하지 않습니다. 그래서 “이제 뒷면이 나올 차례”라는 도박사의 오류가 성립하지 않습니다.
- 다음 질문: 그렇다면 “10,000번 중 앞면이 정확히 몇 번” 나올지의 분포는 어떤 모양일까요? — 이것이 다음 실습(이항분포)의 주제입니다.
더 깊이 학습하기
- Bernoulli, J. (1713): “Ars Conjectandi” — 큰 수의 법칙(약한 형태) 최초 증명
- Freedman, Pisani & Purves (2007): “Statistics” (W. W. Norton) — 16~17장 우연 오차와 큰 수의 법칙
- Blitzstein & Hwang (2019): “Introduction to Probability” (CRC Press) — 10장 부등식과 극한정리