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큰 수의 법칙 실습

처음 10번은 도박, 10,000번은 법칙 — 확률은 ‘한 번의 예언’이 아니라 ‘장기 비율’입니다

이 실습의 질문 — 동전이 앞면만 5번 나왔다면, 다음은 뒷면 차례일까?

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확률과 통계 실습실로 확률과 통계 이론

보험사·카지노·백신 통계가 전부 이 법칙 하나로 굴러갑니다

카지노는 오늘 밤 누가 잭팟을 터뜨릴지 전혀 모릅니다. 그런데도 연말 수익은 거의 정확히 예측합니다 — 개별 사건은 무작위지만 수만 번의 합은 법칙이기 때문입니다. 이 실습에서는 동전 하나로 그 법칙이 눈앞에서 만들어지는 과정을 봅니다. 요동치던 비율 곡선이 이론값 근처에서 잠드는 순간, 확률이라는 개념이 무엇을 약속하고 무엇을 약속하지 않는지가 분명해집니다.

이 페이지에서 배우고 나면

확률이 “다음 한 번”이 아니라 “수많은 반복의 비율”에 대한 진술임을 그래프로 설명할 수 있습니다.
앞면이 연달아 나와도 다음 확률은 변하지 않는 이유(도박사의 오류)를 개수 차이 그래프로 반박할 수 있습니다.
시행 수가 10배 늘 때 요동이 어떻게 줄어드는지 관찰하고, “가까워지지만 도달하지 않는다”를 말할 수 있습니다.

이 실습은 실제 계산입니다 — 그리고 정직한 한계가 있습니다

모든 곡선은 브라우저에서 지금 생성되는 실제 난수 시행의 실측입니다. 결과를 보기 좋게 보정하지 않습니다. 함께 기억할 것:

10번을 던져 앞면이 8번 나오는 어색한 결과도 그대로 보여드립니다 — 그 어색함이 바로 교재입니다.
10만 번을 던져도 비율이 이론값과 정확히 같아지지는 않습니다. 큰 수의 법칙은 “수렴”을 약속할 뿐 “일치”를 약속하지 않습니다.
컴퓨터의 난수는 유사난수(PRNG)이지만, 이 실습의 규모에서는 통계적으로 공정한 동전과 구분되지 않습니다.

동전 던지기 — 요동치다 잠드는 선

처음 10번은 도박, 10,000번은 법칙 — 누적 비율이 이론값에 다가가는 과정을 실측으로 봅니다.

시행 수

0

앞면 비율 p̂

—

이론 p

0.50

앞−뒤 개수 차

—

속도

동전의 편향 p (앞면 확률) = 0.50

x축 로그

10개 궤적 동시에

무엇을 발견했나요?

시행 수가 적을 때와 많을 때, 선의 요동 폭은 어떻게 다른가요? (x축 로그를 켜면 초반이 펼쳐집니다)
“10개 궤적 동시에”를 켜면 — 출발은 제각각인 10개의 선이 결국 어디로 모이나요?
10만 번을 던져도 p̂이 이론 p와 정확히 같아지지는 않습니다. 가까워질 뿐, 도달하지는 않습니다.

직접 해보기 — 실습 과제

10번의 도박: 리셋 후 “+1회”를 10번만 눌러 보세요. 비율이 0.3이 되기도, 0.8이 되기도 합니다. 이 10번만 보고 “이 동전은 불공정하다”고 판단할 수 있을까요?
10,000번의 법칙: 이어서 “+10,000회”를 눌러 보세요. 방금의 요동이 무색하게 곡선이 이론값 근처에 붙습니다. x축 로그를 켜서 초반의 혼돈과 후반의 안정을 한 화면에서 비교하세요.
도박사의 오류 반박: 보기를 “앞−뒤 개수 차”로 바꾸고 10,000번을 던지세요. 비율은 0.5로 갔는데 개수 차이는 0으로 돌아왔나요? 수십~수백 개씩 벌어져 있는 것이 정상입니다. 비율의 수렴은 “개수의 보정”이 아니라 “분모의 성장”이 만듭니다.
편향 동전 탐정: 편향 p를 0.55로 놓고, 몇 번쯤 던져야 공정한 동전(0.5)이 아니라는 확신이 드는지 관찰하세요. 100번? 1,000번? — 작은 차이일수록 많은 데이터가 필요하다는 감각이 뒤의 가설검정 실습으로 이어집니다.
10개의 운명: “10개 궤적 동시에”를 켜고 실행하세요. 출발은 제각각인 10개의 선이 전부 같은 곳으로 모입니다 — 개인의 운은 달라도 집단의 비율은 법칙을 따릅니다.

개념 정리 — 큰 수의 법칙

큰 수의 법칙(Law of Large Numbers): 독립 시행을 반복할 때 표본 비율(상대도수)이 이론 확률에 확률적으로 수렴한다는 정리. 야코프 베르누이가 1713년 『추측술(Ars Conjectandi)』에서 처음 증명했습니다.
수렴하는 것과 수렴하지 않는 것: 수렴하는 것은 비율(앞면 수 ÷ 시행 수)입니다. 앞면과 뒷면의 개수 차이는 시행이 늘수록 커지는 경향이 있습니다(대략 √n 규모).
독립성: 이 법칙의 전제는 각 시행이 서로 독립이라는 것 — 동전은 직전 결과를 기억하지 않습니다. 그래서 “이제 뒷면이 나올 차례”라는 도박사의 오류가 성립하지 않습니다.
다음 질문: 그렇다면 “10,000번 중 앞면이 정확히 몇 번” 나올지의 분포는 어떤 모양일까요? — 이것이 다음 실습(이항분포)의 주제입니다.

다음: 한 번의 비율이 아니라, 횟수의 ‘모양’을 봅니다

동전 100번 던지기를 통째로 1,000번 반복하면, “앞면 횟수”들은 어떤 모양으로 쌓일까요? 무작위 속에서 예측 가능한 모양(이항분포)이 나타나는 것이 다음 실습의 주제입니다. 조건이 걸린 확률이 궁금하다면 조건부확률 실습으로 가도 좋습니다.

더 깊이 학습하기

Bernoulli, J. (1713): “Ars Conjectandi” — 큰 수의 법칙(약한 형태) 최초 증명
Freedman, Pisani & Purves (2007): “Statistics” (W. W. Norton) — 16~17장 우연 오차와 큰 수의 법칙
Blitzstein & Hwang (2019): “Introduction to Probability” (CRC Press) — 10장 부등식과 극한정리