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이항분포 실습
세면 모양이 생긴다 — 무작위는 ‘아무 규칙 없음’이 아니라 ‘정확한 모양의 법칙’입니다
이 실습의 질문 — 동전 100번 중 앞면이 정확히 50번 나올 확률은 얼마나 될까?
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Ctrl K여론조사·품질검사·야구 타율 — 전부 '성공 몇 번?'을 세는 문제입니다
동전 100번 중 앞면이 정확히 50번 나올 확률은 8%가 안 됩니다. “가장 흔한 결과”조차 이렇게 드문데, 공장의 품질관리자와 여론조사 기관은 어떻게 불량품 수와 지지율을 예측할까요? 비밀은 개별 값이 아니라 값들의 ‘모양’에 있습니다. 이 실습에서는 동전 n개 세트 실험을 수천 번 반복하며, 무작위 결과가 쌓여 예측 가능한 산 모양을 만드는 순간을 직접 목격합니다.
이 페이지에서 배우고 나면
- “n번 중 성공 k번”의 확률이 아무 규칙 없이 흩어지지 않고 정확한 산 모양(이항분포)을 이룬다는 것을 실측 히스토그램으로 설명할 수 있습니다.
- 이항분포의 평균 np와 표준편차 √(np(1−p))가 실험 데이터의 어디에 나타나는지 짚을 수 있습니다.
- “드문 사건을 아주 많이 시도”하면 이항분포가 포아송분포로 수렴한다는 것을 λ=np 고정 실험으로 확인할 수 있습니다.
예측 먼저 — 실험 전에 답을 정해 보세요
예측 → 실험 → 확인
정답을 몰라도 괜찮습니다 — 먼저 예측을 정해야 시뮬레이션 결과가 기억에 남습니다. 예측을 고른 뒤 아래 시뮬레이션으로 직접 확인하고, 그다음 결과를 열어 보세요.
1. 공정한 동전을 100번 던질 때, 앞면이 "정확히 50번" 나올 확률은 대략 얼마일까요?
2. n을 키우면서 p를 줄여 np = 3을 유지하면(예: n=1000, p=0.003), 이항분포는 어떻게 될까요?
슬롯 채우기 — 세면 모양이 생긴다
동전 n개를 한 세트로 던지는 실험을 반복하면, 성공 수 k의 히스토그램에 산 모양이 자라납니다 — 전부 실측입니다.
실험 횟수
0
관측 평균 k̄
—
이론 평균 np
10.00
이론 표준편차 √(np(1−p))
2.24
속도
동전 개수 n = 20
성공 확률 p = 0.50
실측 요약 — 이 실습이 보여주는 것
동전 n개를 한 세트로 던지는 실험을 최대 10만 번 반복하며, 성공 수 k의 히스토그램에 이항분포의 산 모양이 자라나 이론 pmf에 달라붙는 과정을 실측하는 실험입니다. 포아송 극한 모드에서는 λ=np를 고정한 채 n을 키워 두 분포의 총변동거리가 붕괴하는 것을 봅니다.
- n=100, p=0.5에서 "정확히 앞면 50번"의 확률은 C(100,50)/2¹⁰⁰ ≈ 7.96% — 가장 가능성 높은 단일 결과조차 8%가 안 되지만, 45~55번 구간 전체는 약 72.9%를 차지한다
- 이항분포의 평균은 np, 표준편차는 √(np(1−p)) — n=100, p=0.5이면 평균 50, 표준편차 5로 실측 히스토그램의 산꼭대기와 폭이 여기에 맞는다
- λ=np=3을 고정하고 n을 키우면 이항분포 B(n, 3/n)과 포아송분포 Pois(3)의 총변동거리는 n=10에서 0.0864 → n=100에서 0.0076 → n=500에서 0.0015로 붕괴한다 (랩과 동일한 식으로 계산·검증)
바로잡는 오개념: "앞면 50번이 가장 그럴듯한 결과니 절반쯤은 그렇게 나온다"는 착각 — 최빈값의 확률도 8%가 안 되며, 확률은 하나의 값이 아니라 분포 전체의 모양으로 봐야 한다.
AI 튜터에게 물어보기
베타
— 정답 대신 힌트로 유도합니다. 지금 화면의 실험 상태를 알고 답해요.
예: “방금 결과가 이론과 다른데 왜죠?”, “이 값을 올렸는데 왜 반대로 변하죠?”
직접 해보기 — 실습 과제
- 슬롯이 채워지는 순간: n = 10, p = 0.5, 속도 1x로 실행하세요. 동전 10개가 좌에서 우로 하나씩 뒤집히고, 성공 수 k가 확정될 때마다 히스토그램의 k칸이 한 층씩 올라갑니다 — 막대 하나하나가 실제 실험 하나입니다.
- 이론과의 재회: “+1,000회”를 몇 번 눌러 산을 키운 뒤, “이론 pmf 오버레이”를 켜 보세요. 실측 막대가 남색 이론 곡선에 착 달라붙습니다. 켜기 전에 산꼭대기의 위치와 높이를 먼저 예측해 보면 더 좋습니다.
- 정확히 50번의 진실: n = 100, p = 0.5로 놓고 충분히 실험한 뒤 k = 50 막대의 높이를 읽어 보세요. 8%가 안 됩니다 — “가장 흔한 결과”조차 이렇게 드뭅니다. 대신 산 전체(45~55 구간)를 보면 대부분의 실험이 그 안에 들어옵니다.
- 기울어진 산: p를 0.1로 옮기고 다시 실험하세요. 산이 왼쪽으로 몰리고 오른쪽으로 꼬리가 생깁니다. 이론 평균 np 칩이 산꼭대기 근처를 가리키는지 확인하세요.
- 포아송으로의 붕괴: “포아송 극한 모드”를 켜고 λ = 3으로 고정한 채 n 슬라이더를 10에서 500까지 밀어 보세요. 파란 막대(이항)가 남색 선(포아송)에 붙으며 총변동거리 칩이 무너져 내립니다 — 드문 사건의 통계학이 태어나는 장면입니다.
개념 정리 — 이항분포와 포아송 극한
- 이항분포(Binomial distribution): 성공 확률 p인 독립 시행을 n번 반복할 때 성공 수 X의 분포. P(X = k) = C(n, k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ — 무작위 시행에도 각 결과의 확률은 정확히 정해져 있습니다.
- 평균과 표준편차: 평균은 np, 표준편차는 √(np(1−p)). n이 커지면 산의 절대 폭은 √n 규모로 넓어지지만, 전체 범위 n 대비 상대 폭은 1/√n 규모로 좁아집니다 — 큰 수의 법칙이 이 그림 안에 들어 있습니다.
- 포아송 극한(Poisson limit): λ = np를 고정한 채 n → ∞, p → 0으로 보내면 이항분포는 포아송분포 P(X = k) = λᵏe^(−λ)/k! 로 수렴합니다. 하루 동안 걸려오는 전화 수, 시간당 사고 건수처럼 “드문 사건의 횟수”가 포아송분포를 따르는 이유입니다.
- 다음 질문: n이 커질수록 이항분포의 산은 점점 매끈한 종 모양을 닮아갑니다. 그 종 모양의 정체(정규분포)와 “68-95-99.7 규칙”이 다음 실습의 주제입니다.
더 깊이 학습하기
- Blitzstein & Hwang (2019): “Introduction to Probability” (CRC Press) — 3~4장 이산분포와 기댓값
- Feller (1968): “An Introduction to Probability Theory and Its Applications” Vol. 1 (Wiley) — 이항분포와 포아송 근사의 고전적 전개
- Poisson (1837): “Recherches sur la probabilité des jugements” — 포아송분포가 처음 등장한 원전