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정규분포 실습

정규분포는 ‘종 모양 그림’이 아니라 ‘σ를 자로 쓰면 비율이 고정되는 규칙’입니다

이 실습의 질문 — 국어 85점과 수학 80점, 어느 쪽을 더 잘 본 걸까?

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확률과 통계 실습실로 확률과 통계 이론

키·시험 점수·측정 오차 — 세상의 수많은 '쌓임'이 같은 곡선을 그립니다

국어 85점과 수학 80점 — 점수만 보면 국어의 승리 같지만, 반 평균과 흩어짐이 다르면 이야기가 달라집니다. 원점수는 서로 다른 자로 잰 길이와 같아서 그대로 비교할 수 없습니다. 이 실습에서는 정규 난수의 비가 종 모양으로 쌓이는 과정을 직접 보고, σ를 자로 쓰는 순간 비율이 고정되는 규칙(68-95-99.7)을 발견합니다. 그 규칙이 있기에 z-점수라는 공용 자가 성립하고 — 그 규칙이 통하지 않는 데이터도 세상에 많다는 것까지 실측으로 확인합니다.

이 페이지에서 배우고 나면

정규분포가 μ(위치)와 σ(폭) 단 두 개의 숫자로 완전히 결정된다는 것을 슬라이더로 설명할 수 있습니다.
68-95-99.7 규칙이 μ·σ와 무관하게 유지되는 이유를 실측으로 확인하고, z-점수로 서로 다른 분포의 점수를 공정하게 비교할 수 있습니다.
“모든 데이터는 정규분포”라는 착각을 연봉형(오른쪽 꼬리) 분포 반례로 반박할 수 있습니다.

이 실습은 실제 계산입니다 — 그리고 정직한 한계가 있습니다

모든 빗방울은 브라우저에서 지금 생성되는 실제 정규 난수(Box–Muller)의 실측이고, 이론 곡선과 밴드 확률은 정규 cdf로 그 자리에서 계산됩니다. 결과를 보기 좋게 보정하지 않습니다. 함께 기억할 것:

점이 적을 때는 히스토그램이 들쭉날쭉하고 1σ 실측 비율도 68%에서 크게 벗어날 수 있습니다 — 그 요동이 그대로 보입니다.
68-95-99.7은 정규분포의 규칙이지 데이터 일반의 법칙이 아닙니다. 연봉형 프리셋에서 이 규칙이 실제로 깨지는 것을 보여드립니다.
z-점수 비교기는 “두 과목 점수가 각각 정규분포에 가깝다”는 가정 위에서만 성립합니다. 실제 시험 점수는 이 가정에서 벗어날 수 있습니다.

빗물 채우기 — 곡선은 비가 쌓일 자리의 예언

randNormal 실측 점이 비처럼 떨어져 쌓입니다. 평균±1σ 안에 떨어진 방울은 파랑, 밖은 회색 — μ·σ를 아무리 바꿔도 파랑의 비율이 어디에 잠기는지 보세요.

낙하 점 수

0

평균±1σ 실측

—

정규라면 (이론)

68.3%

|오차|

—

축(0~100) 밖에 떨어진 방울은 가장자리 칸에 쌓이며, 통계에는 원래 값 그대로 반영됩니다.

속도

평균 μ = 50

표준편차 σ = 10

σ 밴드

무엇을 발견했나요?

μ를 30에서 70으로 옮기고 다시 비를 내려도, 평균±1σ 안의 비율은 왜 그대로일까요?
σ를 키우면 곡선이 낮고 넓어집니다 — 높이를 잃은 만큼 폭을 얻어 넓이(전체 확률 1)가 보존되는 것이 보이나요?
연봉형 분포에서는 평균±1σ 비율이 68%가 아니었습니다. 68-95-99.7은 데이터 일반의 법칙일까요, 정규분포라는 특정 모양의 법칙일까요?

z-점수 비교기 — 원점수의 함정

국어 85점과 수학 80점 — 점수만 보면 국어의 승리지만, 판단은 분포 위의 위치(z)가 합니다. z = (내 점수 − 평균) ÷ 표준편차로 두 과목을 같은 자 위에 올립니다.

국어 — 평균 70점, 표준편차 10점 (정규 가정)

내 점수

z = 1.50 · 상위 6.7%

수학 — 평균 60점, 표준편차 15점 (정규 가정)

내 점수

z = 1.33 · 상위 9.1%

z가 더 큰 국어(z = 1.50, 상위 6.7%)를 상대적으로 더 잘 본 것입니다. 이 비교는 두 과목 점수가 각각 정규분포에 가깝다는 가정 위에서 성립합니다 — 위 실습의 연봉형 분포처럼 정규가 아니면 z와 백분위의 대응(68-95-99.7)은 그대로 쓸 수 없습니다.

직접 해보기 — 실습 과제

비가 만드는 종: 속도 1x로 “비 내리기”를 눌러 한 방울씩 지켜보세요. 개별 방울이 어디에 떨어질지는 아무도 모르지만, 수백 개가 쌓이면 곡선의 예언대로 종 모양이 드러납니다.
68%의 잠금 확인: MAX로 10,000개를 붓고 1σ 실측 비율을 기록하세요. 그다음 μ를 30으로, σ를 20으로 바꿔 다시 10,000개 — 모양과 위치는 완전히 달라졌는데 평균±1σ 비율은 어디로 돌아오나요?
밴드 삼형제: σ 밴드를 ±1σ → ±2σ → ±3σ로 바꿔가며 이론 확률을 확인하세요. ±3σ 밖(약 0.3%)은 10,000개 중 30개꼴 — 히스토그램 꼬리에서 실제로 찾아보세요.
규칙이 깨지는 곳: “오른쪽 꼬리(연봉형)”로 바꿔 10,000개를 내려보세요. 평균±1σ 실측이 68%에서 크게 벗어납니다. 왜 평균 왼쪽과 오른쪽의 쌓임이 비대칭이면 이 규칙이 무너질까요?
원점수의 함정: z-점수 비교기에서 국어 85점 vs 수학 80점을 확인한 뒤, 수학 점수를 몇 점으로 올리면 국어를 역전하는지 찾아보세요. 점수 차 5점의 승부가 z 위에서는 어떻게 뒤집히나요?

개념 정리 — 정규분포

정규분포(Normal Distribution): 평균 μ와 표준편차 σ 두 개의 수만으로 완전히 결정되는 연속 확률분포. μ는 종의 위치를, σ는 종의 폭을 정하고, 곡선 아래 전체 넓이는 항상 1입니다.
68-95-99.7 규칙: μ±1σ 안에 약 68.3%, μ±2σ 안에 약 95.4%, μ±3σ 안에 약 99.7%가 들어옵니다. μ·σ가 무엇이든 σ를 단위 자로 쓰는 순간 이 비율은 고정됩니다 — 단, 정규분포일 때만의 규칙입니다.
표준화(z-점수): z = (x − μ) / σ. “평균에서 σ 몇 개만큼 떨어져 있는가”로 바꿔 읽으면, 서로 다른 분포의 값들을 같은 자 위에서 비교할 수 있습니다. 국어 85점(z=1.5)이 수학 80점(z≈1.33)보다 상대적으로 높은 이유입니다.
정규가 아닌 세상: 연봉·집값·도시 인구처럼 오른쪽 꼬리가 긴 데이터에는 68-95-99.7도, z-백분위 대응도 그대로 쓸 수 없습니다. 규칙을 쓰기 전에 분포의 모양부터 확인해야 합니다.
다음 질문: 정규가 아닌 삐뚤어진 분포에서 뽑은 표본평균들은 어떤 모양으로 쌓일까요? 놀랍게도 다시 종 모양입니다 — 이것이 다음 실습(중심극한정리)의 주제입니다.

다음: 삐뚤어진 분포도 평균을 내면 종이 됩니다

이 실습에서 “모든 데이터가 정규는 아니다”를 확인했습니다. 그런데 왜 통계학은 여전히 정규분포를 중심에 둘까요? 아무리 삐뚤어진 모집단이라도 표본평균들의 분포는 종 모양으로 수렴하기 때문입니다 — 중심극한정리 실습에서 3단 낙하 기계로 직접 확인하세요. 종 모양이 어디서 오는지 이산 세계에서 보고 싶다면 이항분포 실습도 좋습니다.

더 깊이 학습하기

Freedman, Pisani & Purves (2007): “Statistics” (W. W. Norton) — 5장 정규 근사와 표준 단위
Stigler (1986): “The History of Statistics” (Harvard University Press) — 정규 곡선이 오차의 법칙에서 탄생한 역사
Blitzstein & Hwang (2019): “Introduction to Probability” (CRC Press) — 5장 연속 확률변수와 정규분포