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정규분포 실습
정규분포는 ‘종 모양 그림’이 아니라 ‘σ를 자로 쓰면 비율이 고정되는 규칙’입니다
이 실습의 질문 — 국어 85점과 수학 80점, 어느 쪽을 더 잘 본 걸까?
원하는 개념·랩·가이드를 검색해보세요
Ctrl K키·시험 점수·측정 오차 — 세상의 수많은 '쌓임'이 같은 곡선을 그립니다
국어 85점과 수학 80점 — 점수만 보면 국어의 승리 같지만, 반 평균과 흩어짐이 다르면 이야기가 달라집니다. 원점수는 서로 다른 자로 잰 길이와 같아서 그대로 비교할 수 없습니다. 이 실습에서는 정규 난수의 비가 종 모양으로 쌓이는 과정을 직접 보고, σ를 자로 쓰는 순간 비율이 고정되는 규칙(68-95-99.7)을 발견합니다. 그 규칙이 있기에 z-점수라는 공용 자가 성립하고 — 그 규칙이 통하지 않는 데이터도 세상에 많다는 것까지 실측으로 확인합니다.
이 페이지에서 배우고 나면
- 정규분포가 μ(위치)와 σ(폭) 단 두 개의 숫자로 완전히 결정된다는 것을 슬라이더로 설명할 수 있습니다.
- 68-95-99.7 규칙이 μ·σ와 무관하게 유지되는 이유를 실측으로 확인하고, z-점수로 서로 다른 분포의 점수를 공정하게 비교할 수 있습니다.
- “모든 데이터는 정규분포”라는 착각을 연봉형(오른쪽 꼬리) 분포 반례로 반박할 수 있습니다.
예측 먼저 — 실험 전에 답을 정해 보세요
예측 → 실험 → 확인
정답을 몰라도 괜찮습니다 — 먼저 예측을 정해야 시뮬레이션 결과가 기억에 남습니다. 예측을 고른 뒤 아래 시뮬레이션으로 직접 확인하고, 그다음 결과를 열어 보세요.
1. 국어 85점(평균 70, 표준편차 10), 수학 80점(평균 60, 표준편차 15) — 어느 과목을 상대적으로 더 잘 본 걸까요?
2. μ와 σ를 아무리 바꿔도 변하지 않는 것은?
빗물 채우기 — 곡선은 비가 쌓일 자리의 예언
randNormal 실측 점이 비처럼 떨어져 쌓입니다. 평균±1σ 안에 떨어진 방울은 파랑, 밖은 회색 — μ·σ를 아무리 바꿔도 파랑의 비율이 어디에 잠기는지 보세요.
낙하 점 수
0
평균±1σ 실측
—
정규라면 (이론)
68.3%
|오차|
—
속도
평균 μ = 50
표준편차 σ = 10
σ 밴드
z-점수 비교기 — 원점수의 함정
국어 85점과 수학 80점 — 점수만 보면 국어의 승리지만, 판단은 분포 위의 위치(z)가 합니다. z = (내 점수 − 평균) ÷ 표준편차로 두 과목을 같은 자 위에 올립니다.
국어 — 평균 70점, 표준편차 10점 (정규 가정)
z = 1.50 · 상위 6.7%
수학 — 평균 60점, 표준편차 15점 (정규 가정)
z = 1.33 · 상위 9.1%
실측 요약 — 이 실습이 보여주는 것
Box–Muller 정규 난수가 비처럼 떨어져 히스토그램으로 쌓이는(최대 5만 방울) 실험입니다. μ(30~70)와 σ(5~20)를 아무리 바꿔도 평균±1σ 안 실측 비율이 68% 근처에 잠기는 규칙을 확인하고, 로그정규(연봉형) 반례로 규칙이 깨지는 경우와 z-점수 비교기까지 이어집니다.
- 실측 예: μ=50, σ=10으로 10,000방울을 내리면 평균±1σ 안 비율 67.1%, μ=30, σ=20으로 바꿔 다시 내려도 67.7% — 어떤 μ·σ든 이론값 68.3%(±2σ 95.4%, ±3σ 99.7%) 근처로 돌아온다. ±3σ 밖은 10,000개 중 약 27개꼴
- 연봉형 프리셋(로그정규 X = 15·e^Z, Z~N(0, 0.7²): 평균 19.2, σ 15.2)에서는 평균±1σ 이론 확률이 85.4%(10,000방울 실측 85.0%) — 68-95-99.7은 정규분포의 규칙이지 데이터 일반의 법칙이 아니다
- z-점수 비교기 실계산: 국어 85점(평균 70, σ 10)은 z = 1.50으로 상위 6.7%, 수학 80점(평균 60, σ 15)은 z = 1.33으로 상위 9.1% — 서로 다른 자로 잰 원점수를 σ 단위로 표준화해야 공정하게 비교된다
바로잡는 오개념: "어떤 데이터든 평균±1σ 안에 68%가 들어 있다"는 착각 — 68-95-99.7은 정규분포에서만 성립하는 규칙이며, 연봉형처럼 꼬리가 긴 분포에서는 실측으로도 실제로 깨진다.
AI 튜터에게 물어보기
베타
— 정답 대신 힌트로 유도합니다. 지금 화면의 실험 상태를 알고 답해요.
예: “방금 결과가 이론과 다른데 왜죠?”, “이 값을 올렸는데 왜 반대로 변하죠?”
직접 해보기 — 실습 과제
- 비가 만드는 종: 속도 1x로 “비 내리기”를 눌러 한 방울씩 지켜보세요. 개별 방울이 어디에 떨어질지는 아무도 모르지만, 수백 개가 쌓이면 곡선의 예언대로 종 모양이 드러납니다.
- 68%의 잠금 확인: MAX로 10,000개를 붓고 1σ 실측 비율을 기록하세요. 그다음 μ를 30으로, σ를 20으로 바꿔 다시 10,000개 — 모양과 위치는 완전히 달라졌는데 평균±1σ 비율은 어디로 돌아오나요?
- 밴드 삼형제: σ 밴드를 ±1σ → ±2σ → ±3σ로 바꿔가며 이론 확률을 확인하세요. ±3σ 밖(약 0.3%)은 10,000개 중 30개꼴 — 히스토그램 꼬리에서 실제로 찾아보세요.
- 규칙이 깨지는 곳: “오른쪽 꼬리(연봉형)”로 바꿔 10,000개를 내려보세요. 평균±1σ 실측이 68%에서 크게 벗어납니다. 왜 평균 왼쪽과 오른쪽의 쌓임이 비대칭이면 이 규칙이 무너질까요?
- 원점수의 함정: z-점수 비교기에서 국어 85점 vs 수학 80점을 확인한 뒤, 수학 점수를 몇 점으로 올리면 국어를 역전하는지 찾아보세요. 점수 차 5점의 승부가 z 위에서는 어떻게 뒤집히나요?
개념 정리 — 정규분포
- 정규분포(Normal Distribution): 평균 μ와 표준편차 σ 두 개의 수만으로 완전히 결정되는 연속 확률분포. μ는 종의 위치를, σ는 종의 폭을 정하고, 곡선 아래 전체 넓이는 항상 1입니다.
- 68-95-99.7 규칙: μ±1σ 안에 약 68.3%, μ±2σ 안에 약 95.4%, μ±3σ 안에 약 99.7%가 들어옵니다. μ·σ가 무엇이든 σ를 단위 자로 쓰는 순간 이 비율은 고정됩니다 — 단, 정규분포일 때만의 규칙입니다.
- 표준화(z-점수): z = (x − μ) / σ. “평균에서 σ 몇 개만큼 떨어져 있는가”로 바꿔 읽으면, 서로 다른 분포의 값들을 같은 자 위에서 비교할 수 있습니다. 국어 85점(z=1.5)이 수학 80점(z≈1.33)보다 상대적으로 높은 이유입니다.
- 정규가 아닌 세상: 연봉·집값·도시 인구처럼 오른쪽 꼬리가 긴 데이터에는 68-95-99.7도, z-백분위 대응도 그대로 쓸 수 없습니다. 규칙을 쓰기 전에 분포의 모양부터 확인해야 합니다.
- 다음 질문: 정규가 아닌 삐뚤어진 분포에서 뽑은 표본평균들은 어떤 모양으로 쌓일까요? 놀랍게도 다시 종 모양입니다 — 이것이 다음 실습(중심극한정리)의 주제입니다.
더 깊이 학습하기
- Freedman, Pisani & Purves (2007): “Statistics” (W. W. Norton) — 5장 정규 근사와 표준 단위
- Stigler (1986): “The History of Statistics” (Harvard University Press) — 정규 곡선이 오차의 법칙에서 탄생한 역사
- Blitzstein & Hwang (2019): “Introduction to Probability” (CRC Press) — 5장 연속 확률변수와 정규분포