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조건부확률 실습

Q: 100명 마을에 안경 쓴 사람 20명, 왼손잡이 10명, 둘 다인 사람이 4명입니다. "왼손잡이 중에서 안경 쓴 사람의 비율" P(안경|왼손잡이)는?

조건 "왼손잡이"가 세상을 10명으로 좁힙니다. 분모는 언제나 조건이 만든 좁아진 세상의 크기입니다. 넘스탯(NumStats)의 브라우저 시뮬레이션에서 직접 실험으로 확인할 수 있습니다.

Q: P(A|B)와 P(B|A)의 관계는?

"양성 판정자 중 환자 비율"과 "환자 중 양성 비율"이 전혀 다른 것과 같은 이치입니다. 이 혼동이 검사 결과 오해(기저율 무시)의 뿌리입니다. 넘스탯(NumStats)의 브라우저 시뮬레이션에서 직접 실험으로 확인할 수 있습니다.

조건은 세상을 좁힙니다 — 확률이 바뀐 게 아니라 분모가 바뀐 것입니다

이 실습의 질문 — 양성 판정 중 환자 비율과, 환자 중 양성 비율 — 같은 말일까?

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확률과 통계 실습실로 확률과 통계 이론

P(A|B)와 P(B|A)를 뒤집는 순간, 법정·병원·뉴스의 판단이 뒤집힙니다

“질병 환자의 60%가 흡연자”라는 기사와 “흡연자의 40%가 질병 환자”라는 기사는 완전히 같은 데이터에서 나올 수 있습니다. 두 문장이 다른 값인 이유는 단 하나 — 나누는 분모가 다르기 때문입니다. 이 실습에서는 100명 마을에 조건을 걸어 사람들이 가라앉는 것을 직접 보면서, 조건부확률이 “새로운 계산”이 아니라 “좁아진 세상에서 다시 세기”라는 것을 확인합니다. 이 구분이 흔들리면 검사 결과와 통계 기사를 정반대로 읽게 됩니다.

이 페이지에서 배우고 나면

P(A|B)와 P(B|A)가 분자는 같아도 분모 영역이 달라 다른 값이 되는 이유를 격자 위에서 설명할 수 있습니다.
“조건을 걸어도 비율이 그대로면 독립”이라는 판별 기준을 실제 마을에 적용할 수 있습니다.
2×2 분할표에서 인원수를 직접 세어 조건부확률을 계산할 수 있습니다.

이 실습은 실제 계산입니다 — 그리고 정직한 한계가 있습니다

마을 100명은 난수가 아니라 지정된 결합확률표대로 정확히 배치된 인구이며, 모든 확률은 남은 인원수를 실제로 세어 나눈 값입니다. 함께 기억할 것:

세 시나리오의 수치는 개념을 또렷하게 보여주도록 설계된 교육용 값이며, 실제 역학 조사나 설문 결과가 아닙니다.
조건부확률이 달라지는 것(종속)은 연관을 보여줄 뿐 인과를 증명하지 않습니다 — 게임과 성적 시나리오에서 특히 주의하세요.
현실의 표본 100명이라면 우연한 요동이 섞이지만, 이 마을은 모집단 자체라서 요동이 없습니다. 표본의 요동은 큰 수의 법칙 실습에서 다룹니다.

예측 먼저 — 실험 전에 답을 정해 보세요

예측 → 실험 → 확인

정답을 몰라도 괜찮습니다 — 먼저 예측을 정해야 시뮬레이션 결과가 기억에 남습니다. 예측을 고른 뒤 아래 시뮬레이션으로 직접 확인하고, 그다음 결과를 열어 보세요.

1. 100명 마을에 안경 쓴 사람 20명, 왼손잡이 10명, 둘 다인 사람이 4명입니다. "왼손잡이 중에서 안경 쓴 사람의 비율" P(안경|왼손잡이)는?

2. P(A|B)와 P(B|A)의 관계는?

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100명 마을 인구 필터 — 조건은 분모를 바꾼다

조건을 누르면 해당 없는 사람이 가라앉고, 남은 사람 수가 새로운 분모가 됩니다. 모든 확률은 남은 인원을 실제로 센 값입니다.

P(흡연)

30/100 = 0.30

P(질병)

20/100 = 0.20

P(흡연|질병)

12/20 = 0.60

P(질병|흡연)

12/30 = 0.40

흡연자 (채움색)

질병 있음 (테두리 링)남은 사람: 100명 / 100명

시나리오

조건 걸기

2×2 분할표 보기

100명 중 흡연자 30명, 질병 보유 20명 — 조건에 따라 비율이 크게 달라지는 마을입니다.

인원수 (명)	질병 있음	질병 있음 아님	합계
흡연자	12	18	30
흡연자 아님	8	62	70
합계	20	80	100

교집합(12명)은 하나인데, 나누는 분모(행 합계 30명 vs 열 합계 20명)가 다릅니다.

무엇을 발견했나요?

P(흡연|질병)와 P(질병|흡연)의 분자는 같은 12명인데 왜 값이 다른가요? 두 조건 버튼을 번갈아 눌러 격자에 남는 영역을 비교해 보세요.
안경과 왼손잡이 시나리오에서는 조건을 걸어도 파란 원의 비율이 변하지 않습니다 — 조건이 비율을 못 바꾸는 상태, 그것이 독립의 정의입니다.
“질병 환자 중 흡연자 60%”와 “흡연자 중 질병 환자 40%” — 같은 마을, 같은 12명에서 나온 두 문장입니다. 뉴스 제목이 어느 쪽을 고르느냐에 따라 인상이 어떻게 달라질까요?

실측 요약 — 이 실습이 보여주는 것

지정된 결합확률표대로 정확히 배치된 100명 마을에 조건을 걸어 해당 없는 사람을 가라앉히고, 남은 인원수를 직접 세어 조건부확률을 계산하는 실험입니다. P(A|B)와 P(B|A)가 분자는 같아도 분모가 달라 다른 값이 되는 것과, "조건을 걸어도 비율이 그대로면 독립"을 확인합니다.

흡연과 질병 마을(흡연 30명, 질병 20명, 둘 다 12명): P(흡연|질병) = 12/20 = 60%인데 P(질병|흡연) = 12/30 = 40% — 분자는 같은 12명이지만 분모(질병 20명 vs 흡연 30명)가 달라 값이 다르다
안경과 왼손잡이 마을(안경 40명, 왼손잡이 10명, 둘 다 4명): P(안경|왼손잡이) = 4/10 = 40% = P(안경) — 조건을 걸어도 비율이 변하지 않는 상태, 이것이 독립의 수치적 정의다
게임과 성적 마을(게임 3시간 이상 50명, 상위권 30명, 둘 다 9명): P(상위권|게임) = 9/50 = 18%로 전체 P(상위권) = 30%보다 낮아 종속이지만, 이 연관만으로는 인과를 말할 수 없다

바로잡는 오개념: "P(A|B)와 P(B|A)는 방향만 다를 뿐 같은 값"이라는 착각 — 두 확률은 분자(교집합)는 같아도 분모가 전혀 다른 무리이며, 이 혼동이 검사의 역설과 기저율 무시의 뿌리다.

AI 튜터에게 물어보기

베타

— 정답 대신 힌트로 유도합니다. 지금 화면의 실험 상태를 알고 답해요.

예: “방금 결과가 이론과 다른데 왜죠?”, “이 값을 올렸는데 왜 반대로 변하죠?”

AI 답변은 부정확할 수 있습니다. 핵심 개념은 반드시 시뮬레이션 실측으로 확인하세요. 질문 0/5 · 하루 질문 한도가 있습니다

직접 해보기 — 실습 과제

두 개의 분모: 흡연과 질병 시나리오에서 “질병 있음만”을 누르고 남은 20명 중 파란 원(흡연자)을 세어 보세요(12명 → 0.60). 이어서 “흡연자만”을 누르면 30명 중 링(질병) 12명 → 0.40. 분자는 같은 12명인데 왜 값이 다른지 남은 영역으로 설명해 보세요.
독립 판별 실험: 안경과 왼손잡이 시나리오에서 조건을 걸기 전 P(안경)을 확인하고, “왼손잡이만”을 눌러 보세요. 남은 10명 중 파란 원의 비율이 전체와 같은가요? 조건이 비율을 못 바꾸면 — 그것이 독립입니다.
연관 ≠ 인과: 게임과 성적 시나리오에서 P(상위권|게임) = 0.18과 P(상위권) = 0.30을 비교하세요. 종속은 분명하지만, 이것만으로 “게임이 성적을 떨어뜨린다”고 말할 수 있을까요? 수면 시간 같은 숨은 변수를 하나 떠올려 보세요.
분할표 검산: 2×2 분할표를 켜고, 화면의 P(A|B) 값을 표의 인원수만으로 직접 재계산해 보세요. 교집합 칸 하나를 행 합계로 나눌 때와 열 합계로 나눌 때 서로 다른 조건부확률이 나옵니다.
뉴스 제목 뒤집기: 흡연과 질병 마을에서 “환자의 60%가 흡연자”와 “흡연자의 40%가 환자” — 두 제목을 직접 만들어 보세요. 어느 쪽이 더 위협적으로 들리나요? 같은 데이터에서 나온 문장임을 격자로 확인하세요.

개념 정리 — 조건부확률

조건부확률(Conditional Probability): P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B). “B라는 좁아진 세상 안에서 A가 차지하는 비율” — 분자가 아니라 분모를 바꾸는 연산입니다.
P(A|B) ≠ P(B|A): 두 값의 분자는 같은 교집합 P(A∩B)이지만 분모가 다릅니다. 이 둘을 혼동하는 것이 검사의 역설, 법정의 “검사의 오류(prosecutor’s fallacy)”, 기저율 무시의 뿌리입니다.
독립(Independence): P(A|B) = P(A), 즉 조건을 걸어도 비율이 변하지 않는 상태. P(A∩B) = P(A)×P(B)와 같은 말입니다. 독립은 “관계없어 보인다”는 인상이 아니라 이렇게 수치로 판별하는 개념입니다.
종속 ≠ 인과: 조건부확률이 달라지면 두 속성은 종속이지만, 어느 쪽이 원인인지 혹은 제3의 변수가 둘 다 만들었는지는 알 수 없습니다.
다음 질문: 알고 있는 P(B|A)에서 궁금한 P(A|B)로 방향을 뒤집는 공식이 있을까요? — 그것이 베이즈 정리 실습의 주제입니다.

다음: 조건으로 좁힌 무리를, 이제 숫자 하나로 요약합니다

마을에서 무리를 골라내는 법을 배웠으니, 다음은 골라낸 데이터의 “대표값”입니다. 평균은 언제 대표가 되고 언제 배신하는지를 시소 위의 구슬로 확인하세요. P(B|A)에서 P(A|B)로 방향을 뒤집는 공식이 궁금하다면 베이즈 정리 실습으로 바로 가도 좋습니다.

더 깊이 학습하기

Blitzstein & Hwang (2019): “Introduction to Probability” (CRC Press) — 2장 조건부확률과 독립
Freedman, Pisani & Purves (2007): “Statistics” (W. W. Norton) — 13~14장 조건부확률과 독립성
Kahneman (2011): “Thinking, Fast and Slow” — 기저율 무시(base-rate neglect)가 판단을 어떻게 왜곡하는가