넘스탯
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확률부터 LLM까지, 원리부터 제대로 배우는 자기주도 학습 플랫폼
베이즈 정리 실습
검사의 정확도와 ‘양성일 때 환자일 확률’은 다른 숫자입니다 — 차이를 만드는 것은 기저율입니다
이 실습의 질문 — 정확도 99% 검사에서 양성, 그런데 환자일 확률이 절반도 안 된다고?
원하는 개념·랩·가이드를 검색해보세요
Ctrl K의사도 절반 이상이 틀리는 문제 — 격자 하나면 암산으로 풀립니다
희귀병 검사에서 양성을 받았습니다. 검사는 환자의 99%를 잡아냅니다. 그렇다면 내가 환자일 확률은 99%일까요? 이 문제를 의사들에게 냈을 때 절반 이상이 틀렸다는 연구가 있을 만큼, 우리의 직관은 기저율을 무시하도록 생겨먹었습니다. 이 실습에서는 확률 기호 대신 1,000명의 사람으로 같은 문제를 봅니다. 양성 판정자만 남기고 걸러내는 순간, “양성 중 진짜 환자”가 몇 명인지는 세어 보면 그만인 문제가 됩니다.
이 페이지에서 배우고 나면
- 민감도 P(양성|환자)와 사후확률 P(환자|양성)이 왜 전혀 다른 숫자인지 1,000명 격자로 설명할 수 있습니다.
- “정확도 99%”라는 광고 문구에서 유병률(기저율)을 먼저 묻는 습관이 생깁니다 — 위양성이 진양성을 수로 압도하는 조건을 압니다.
- 검사를 반복하면 사후확률이 새 사전확률이 되어 갱신되는 구조 — 스팸 필터와 기계학습 분류의 뼈대 — 를 체험합니다.
예측 먼저 — 실험 전에 답을 정해 보세요
예측 → 실험 → 확인
정답을 몰라도 괜찮습니다 — 먼저 예측을 정해야 시뮬레이션 결과가 기억에 남습니다. 예측을 고른 뒤 아래 시뮬레이션으로 직접 확인하고, 그다음 결과를 열어 보세요.
1. 유병률 1%인 병의 검사(민감도 99%, 특이도 99%)에서 양성이 나왔습니다. 실제로 병이 있을 확률은?
2. 위 상황(양성, 병일 확률 약 50%)에서 독립적인 같은 검사를 한 번 더 받아 또 양성이 나오면?
1,000명 자연빈도 필터 — 양성 판정자만 남기기
“검사 정확도”와 “양성일 때 환자일 확률”은 다른 숫자입니다 — 1,000명을 직접 걸러내며 그 차이를 봅니다. 인원 수는 기대 빈도의 반올림(자연빈도)로 결정됩니다.
환자 수
1 / 1,000명
양성 판정
—
그중 진짜 환자
—
P(환자|양성)
—
1,000명의 마을 — [검사 실행]을 누르면 3단계로 진행됩니다 (유병률 0.1%)
환자
건강한 사람
양성 판정 (노란 링)
시나리오 프리셋
희귀병 검사
스팸 필터
음주 단속
유병률(기저율) P(환자) = 0.1%
민감도 P(양성|환자) = 99.0%
특이도 P(음성|건강) = 99.0%
실측 요약 — 이 실습이 보여주는 것
유병률·민감도·특이도를 조절하며 1,000명 자연빈도 격자에서 양성 판정자만 걸러내, "검사 정확도"와 P(환자|양성)이 전혀 다른 숫자임을 인원수 세기로 확인하는 실험입니다. [한 번 더 검사]로 사후확률이 다음 검사의 사전확률이 되는 베이즈 갱신 사슬도 체험합니다.
- 유병률 1%·민감도 99%·특이도 99%에서 P(환자|양성) = 0.99×0.01 ÷ (0.99×0.01 + 0.01×0.99) = 정확히 50% — 1,000명 격자로 보면 진양성 10명 + 위양성 10명 = 양성 20명 중 진짜 환자는 절반뿐이다
- "희귀병 검사" 프리셋(유병률 0.1%)에서는 1,000명 중 환자 1명, 양성 판정 11명(진양성 1 + 위양성 10) — P(환자|양성) = 1/11 ≈ 9.1%로, "정확도 99%"라는 직관과 10배 넘게 어긋난다
- 독립인 두 번째 검사에서 또 양성이 나오면 사전확률이 1%가 아니라 50%에서 다시 출발해 P(환자|양성) = 99%로 뛴다 — "스팸 필터" 프리셋(기저율 10%, 민감도 95%, 특이도 90%)에서는 양성 185명 중 스팸 95명, 사후확률 51.4%
바로잡는 오개념: "정확도 99% 검사에서 양성이면 병일 확률도 99%"라는 기저율 무시 — P(양성|환자)와 P(환자|양성)은 분모가 다른 확률이며, 유병률이 낮으면 건강한 다수에서 나온 위양성이 진양성을 수로 압도한다.
AI 튜터에게 물어보기
베타
— 정답 대신 힌트로 유도합니다. 지금 화면의 실험 상태를 알고 답해요.
예: “방금 결과가 이론과 다른데 왜죠?”, “이 값을 올렸는데 왜 반대로 변하죠?”
직접 해보기 — 실습 과제
- 예측 먼저: “희귀병 검사” 프리셋(유병률 0.1%, 민감도·특이도 99%)에서 검사를 실행하기 전에, P(환자|양성)을 먼저 종이에 적어 보세요. 그다음 [검사 실행]을 눌러 답과 비교하세요 — 대부분의 직관은 10배 이상 빗나갑니다.
- 기저율 실험: 민감도·특이도는 그대로 두고 유병률만 0.1% → 1% → 10%로 올리며 매번 검사를 실행하세요. 같은 검사인데 P(환자|양성)이 어떻게 변하나요? 이것이 “검진 대상을 고위험군으로 좁히는” 이유입니다.
- 민감도 vs 특이도: 유병률 0.1%에서 민감도를 99 → 90%로 낮춘 경우와, 특이도를 99 → 90%로 낮춘 경우의 사후확률을 비교하세요. 희귀병에서는 어느 쪽 숫자가 양성의 신뢰도를 좌우하나요?
- 베이즈 갱신 사슬: 희귀병 프리셋에서 검사 실행 후 [한 번 더 검사]를 눌러 보세요. 9%였던 확률이 두 번째 양성으로 얼마까지 뛰나요? 사전확률 → 사후확률 → 새 사전확률로 이어지는 사슬을 하단 칩에서 따라가 보세요.
- 스팸 필터의 사정: “스팸 필터” 프리셋으로 바꿔 보세요. 기저율이 10%로 오르자 같은 논리로도 사후확률이 절반을 넘습니다 — 그런데도 정상 메일이 스팸함에 들어가는 이유(위양성)를 격자에서 찾아 보세요.
개념 정리 — 베이즈 정리
- 베이즈 정리(Bayes’ theorem): P(환자|양성) = P(양성|환자) × P(환자) ÷ P(양성). 증거(양성)를 본 뒤 믿음(환자일 확률)을 갱신하는 규칙으로, 1763년 토머스 베이즈의 유고 논문에서 처음 제시되었습니다.
- 자연빈도로 읽기: 확률 기호 대신 “1,000명 중 환자 1명, 진양성 1명, 위양성 10명 → 양성 11명 중 환자 1명”처럼 인원수로 서술하면 같은 계산이 암산이 됩니다. 기거렌처의 연구에 따르면 이 표현만으로 의사들의 정답률이 크게 올랐습니다.
- 기저율 무시(base rate neglect): P(양성|환자)가 크면 P(환자|양성)도 클 것이라 착각하는 오류. 두 조건부확률은 분모가 다른 영역(환자 무리 vs 양성 무리)의 비율이므로, 유병률이 낮으면 얼마든지 어긋납니다.
- 사전확률과 사후확률: 검사 전의 P(환자)가 사전확률, 양성을 본 뒤의 P(환자|양성)이 사후확률입니다. 사후확률은 다음 증거를 볼 때의 새 사전확률이 됩니다 — 증거가 쌓일수록 믿음이 갱신되는 이 구조가 스팸 필터, 나이브 베이즈 분류기, 나아가 기계학습의 확률적 분류 전반의 뿌리입니다.
더 깊이 학습하기
- Gigerenzer & Hoffrage (1995): “How to Improve Bayesian Reasoning Without Instruction” (Psychological Review 102) — 자연빈도 표현이 베이즈 추론 정답률을 끌어올린다는 실증 연구, 이 실습의 설계 근거
- Bayes, T. (1763): “An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances” — 베이즈 정리가 처음 제시된 유고 논문
- McGrayne, S. B. (2011): “The Theory That Would Not Die” (Yale University Press) — 암호 해독에서 스팸 필터까지, 베이즈 정리 250년의 역사