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표본분포 3형제 실습 — t·χ²·F

셋 다 같은 공장에서 나옵니다 — 정규 모집단에서 표본을 뽑아, 숫자 하나로 압축해, 쌓는다
이 실습의 질문 — 교과서 뒤의 t·χ²·F 표는 대체 어디서 온 숫자들일까?

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확률과 통계 실습실로t-분포 상세 이론

중심극한정리 다음 이야기 — 평균의 구슬에 이어, 이번엔 t·χ²·F의 구슬입니다

가설검정과 신뢰구간, 분산분석(ANOVA)의 기준표가 전부 이 세 분포에서 나옵니다. 표를 외우기 전에, 그 표의 숫자들이 어떤 실험을 무한히 반복한 기록인지 직접 그 실험을 돌려 보세요.
이 페이지에서 배우고 나면
  • t·χ²·F가 각각 “무엇을 계산해 쌓은 산”인지 — 평균의 표준화, 분산의 합, 분산의 비 — 말로 설명할 수 있습니다.
  • 자유도가 공식의 첨자가 아니라 “표본 크기의 그림자”임을 n 슬라이더로 체감합니다.
  • “σ를 아는 신” 토글로 t의 두꺼운 꼬리의 범인이 표본마다 요동치는 s임을 통제실험으로 확인합니다.
예측 먼저 — 실험 전에 답을 정해 보세요
예측 → 실험 → 확인

정답을 몰라도 괜찮습니다 — 먼저 예측을 정해야 시뮬레이션 결과가 기억에 남습니다. 예측을 고른 뒤 아래 시뮬레이션으로 직접 확인하고, 그다음 결과를 열어 보세요.

1. n=5로 1,000번 뽑은 뒤의 히스토그램 막대들은, 총 몇 개의 데이터에서 나온 걸까요?
2. t 모드에서 "σ를 아는 신" 토글을 켜면 (분모의 s가 진짜 σ로 바뀌면) 산의 모양은?
3. n(표본 크기)을 키우는 것과 뽑기 횟수 B를 키우는 것 — 이론 곡선 자체를 바꾸는 쪽은?
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통계량 증류기 — t·χ²·F 가 태어나는 곳

정규 모집단에서 표본을 뽑아 숫자 하나로 압축하면, 그 숫자들이 쌓여 만드는 산이 바로 t·χ²·F 분포입니다. 외우는 곡선이 아니라 태어나는 곡선을 확인하세요.

① 모집단 N(0, 1)데이터의 분포→② 이번 표본 — 데이터 5개아직 통계량이 아님 — x 값 5개→③ 숫자 1개로 압축t = x̄ / (s/√n)이 숫자가 아래 히스토그램의 한 방울
통계량의 분포 — 실험 0번의 기록-5.7-3.4-1.11.13.45.7t 값 (②의 "x 값"과 다른 축입니다)
표본 크기 n = 5 → df = 4
누적 B
0
평균 이론|실측
0.00 | —
분산 이론|실측
2.00 | —
탈출(도메인 밖)
0
②와 메인 플롯의 가로축 이름이 다릅니다 — ②는 데이터(x 값), 아래는 통계량(t 값). 이 구분이 표본과 표집분포를 가르는 선입니다. 한 방울 = 데이터 5개의 압축.
실측 요약 — 이 실습이 보여주는 것

정규 모집단 N(0,1)에서 표본 n개를 뽑아 통계량(t = x̄/(s/√n), χ² = (n−1)s², F = s₁²/s₂²) 하나로 압축해 히스토그램에 쌓는 실험입니다. 파이프라인 스트립(모집단 → 이번 표본 → 공식 카드)이 "데이터의 분포"와 "통계량의 분포"의 층위를 상시 분리해 보여주고, 1/100/1,000개 뽑기 버튼·자유도 슬라이더(n=5 → df=4 병기)·이론 곡선 토글·"σ를 아는 신"(t)·"μ를 아는 신"(χ²) 통제실험 토글을 제공합니다. 최대 10만 표본, 시드 고정 시 완전 재현.

  • t(n=6, df=5) 10만 표본 실측: 분산 1.683 vs 이론 ν/(ν−2) = 5/3 ≈ 1.667 — 정규(분산 1)보다 뚜렷이 두꺼운 꼬리가 시뮬레이션에서 그대로 재현된다. 자유도 500이면 pdf가 정규와 소수점 셋째 자리까지 일치(수렴 실측)
  • "σ를 아는 신" 토글(n=3): 분모의 s를 진짜 σ로 바꾸는 순간 10만 표본 분산이 1.001로 붕괴 — t의 두꺼운 꼬리의 범인이 표본마다 요동치는 s임을 통제실험으로 특정한다. "μ를 아는 신"(χ², n=11)은 실측 평균을 10.999 → 자유도가 n−1에서 n으로 늘어나는 것을 보여준다(n−1 = x̄ 추정이 소모한 자유도 1의 회계)
  • χ²(df=4) 실측 평균 4.005·분산 8.002 (이론 k·2k), F(df 9,14) 실측 평균 1.166 (이론 d₂/(d₂−2) = 14/12 ≈ 1.167) — 화면의 "이론 | 실측" 대결 칩이 쌓일수록 붙어가는 것 자체가 대수의 법칙의 재연이다

바로잡는 오개념: "t·χ²·F는 각각 외워야 하는 별개의 곡선이고 자유도는 공식의 첨자"라는 생각 — 셋 다 같은 공장(정규 모집단 표본추출)에서 통계량의 종류만 바꿔 태어나는 표집분포이며, 자유도는 그 계산에 실제로 참여한 정보의 개수다. 표본 크기 n이 곡선의 정체를 바꾸고(자유도), 뽑기 횟수 B는 같은 곡선에 수렴시킬 뿐(대수의 법칙)이라는 구분이 핵심이다.

AI 튜터에게 물어보기
베타

— 정답 대신 힌트로 유도합니다. 지금 화면의 실험 상태를 알고 답해요.

예: “방금 결과가 이론과 다른데 왜죠?”, “이 값을 올렸는데 왜 반대로 변하죠?”

AI 답변은 부정확할 수 있습니다. 핵심 개념은 반드시 시뮬레이션 실측으로 확인하세요. 질문 0/5 · 하루 질문 한도가 있습니다
직접 해보기 — 실습 과제
  1. 분포의 탄생: t 모드, n=5에서 1,000개를 뽑고 이론 곡선을 켜 보세요 — 교과서 곡선이 당신의 산 위에 얹힙니다
  2. t → 정규 수렴: 정규 참조선을 켠 채 n을 3 → 31로 — t 곡선이 회색 정규선 안으로 접혀 들어갑니다 ("df≥30이면 z를 써도 된다"의 실측)
  3. 범인 검거: n=3에서 "σ를 아는 신"을 켜고 끄며 비교 — t 꼬리의 범인이 s의 요동임을 확인하세요
  4. n−1의 실체: χ² 모드, n=11에서 "μ를 아는 신" — 산이 오른쪽으로 정확히 1 이동합니다 (자유도 10 → 11)
  5. 무한 분산 목격: t 모드, n=2 (자유도 1 = 코시분포) — 분산 칩이 "이론: ∞"가 되고 탈출 카운터가 쌓이는 것을 보세요. 버그가 아니라 수학입니다
  6. F의 요동: F 모드에서 두 표본의 분산이 같은데도(σ₁=σ₂) F가 1에 못 박히지 않는 것 — ANOVA에 기준표가 필요한 이유입니다
📖 더 깊이 학습하기
  • Student (W. S. Gosset, 1908): "The Probable Error of a Mean", Biometrika — 기네스 양조장에서 태어난 t분포
  • Fisher (1925): Statistical Methods for Research Workers — 자유도 개념과 F분포의 체계화
  • OpenIntro Statistics (4th ed.) — 표집분포·t분포 장: 시뮬레이션 우선 접근의 표준 교재