가중평균은 각 값에 서로 다른 중요도(가중치)를 부여하여 계산하는 평균입니다. 단순평균과 달리, 어떤 값들은 더 중요하게, 어떤 값들은 덜 중요하게 취급하여 계산합니다.
다이어그램이 말하는 것 ●
각 값에 중요도(가중치) wᵢ를 곱한 평균: Σ(xᵢ·wᵢ) ÷ Σwᵢ
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학점 계산·포트폴리오 수익률·여론조사 표본 보정 등에 광범위 사용
학점을 계산할 때를 생각해보세요. 중간고사 30%, 기말고사 40%, 과제 30%로 성적이 결정된다면, 기말고사 점수가 더 중요합니다. 이처럼 각각의 중요도가 다를 때 사용하는 것이 가중평균입니다.
가중평균은 비중이 큰 쪽으로 끌린다 막대 너비 = 가중치(비중). 비중이 큰 기말 쪽으로 대표값이 이동합니다 중간고사 70점 · 비중 40% 기말고사 80점 · 비중 60% 68점 72점 76점 80점 단순평균 75 가중평균 76 70×0.4 + 80×0.6 = 76 — 비중 60%인 기말 쪽으로 단순평균(75)보다 1점 이동
• 각 값에 중요도(가중치)를 곱해서 계산하는 평균
수학 점수 80점(비중 40%), 영어 점수 90점(비중 60%)일 때, 가중평균은 80×0.4 + 90×0.6 = 32 + 54 = 86점입니다.
Q1: 중간고사 85점(30%), 기말고사 92점(70%)의 가중평균은? 정답:
85×0.3 + 92×0.7 = 25.5 + 64.4 = 89.9점입니다.
Q2: 가중평균과 단순평균의 차이점은 무엇인가요? 정답:
단순평균은 모든 값을 동등하게 취급하지만, 가중평균은 각 값에 서로 다른 중요도를 부여합니다.
가중평균은 각 관측값에 해당하는 가중치를 곱한 후 이들의 합을 가중치의 총합으로 나누어 계산합니다. 가중치는 빈도, 중요도, 신뢰도 등 다양한 기준으로 설정할 수 있으며, 통계학과 금융, 교육 등 여러 분야에서 핵심적으로 사용됩니다.
x̄w는 가중평균, wi는 i번째 값의 가중치, xi는 i번째 주어진 수, n은 전체 주어진 수의 개수를 나타냅니다. 분자는 (가중치×값)의 총합이고, 분모는 가중치의 총합입니다.
예시 1: 학점 계산 (GPA)
대학교 학점 계산에서 학점 수에 따른 가중평균
수학(3학점, A=4.0), 영어(2학점, B+=3.5), 물리(4학점, A-=3.7)
가중평균 = (3×4.0 + 2×3.5 + 4×3.7) ÷ (3+2+4) = (12.0 + 7.0 + 14.8) ÷ 9 = 3.76
학점 수가 많은 과목이 전체 GPA에 더 큰 영향을 미칩니다.
예시 2: 포트폴리오 수익률
투자 포트폴리오의 기대 수익률 계산
주식 60%(수익률 8%), 채권 30%(수익률 4%), 현금 10%(수익률 1%)
포트폴리오 수익률 = 0.6×8% + 0.3×4% + 0.1×1% = 4.8% + 1.2% + 0.1% = 6.1%
비중이 큰 자산의 수익률이 전체 포트폴리오 수익률을 크게 좌우합니다.
예시 3: 시장점유율 기반 평균 가격
시장에서 각 기업의 점유율을 고려한 평균 제품 가격
기업A 40%(가격 50,000원), 기업B 35%(가격 45,000원), 기업C 25%(가격 55,000원)
가중평균 가격 = 0.4×50,000 + 0.35×45,000 + 0.25×55,000 = 20,000 + 15,750 + 13,750 = 49,500원
점유율이 높은 기업의 가격이 시장 평균 가격에 더 큰 영향을 미칩니다.
흔한 실수들 가중치의 합이 1이 아닌 상태로 계산
가중치를 %로 표현했지만 소수로 변환하지 않은 경우
30%, 40%, 30%는 0.3, 0.4, 0.3으로 변환하여 계산해야 합니다.
단순평균과 가중평균을 혼동
가중치가 주어졌는데도 단순히 평균을 계산하는 경우
가중치가 주어지면 반드시 가중평균 공식을 사용해야 합니다.
가중치 설정의 근거 부족
임의로 가중치를 정하거나 논리적 근거 없이 설정
가중치는 중요도, 빈도, 신뢰도 등 명확한 기준에 따라 설정해야 합니다.
문제 1: 국어 75점(25%), 수학 85점(35%), 영어 80점(40%)의 가중평균은?
각 과목의 점수에 해당 비중을 곱한 후 모두 더하세요.
80.25점
75×0.25 + 85×0.35 + 80×0.40 = 18.75 + 29.75 + 32 = 80.25점
문제 2: 투자자가 A주식에 300만원(수익률 12%), B주식에 200만원(수익률 8%)을 투자했다면 포트폴리오 수익률은?
투자 금액 비중을 가중치로 사용하세요.
10.4%
A주식 비중 60%(300/500), B주식 비중 40%(200/500). 가중평균 = 0.6×12% + 0.4×8% = 7.2% + 3.2% = 10.4%
가중평균은 통계학의 기댓값(Expected Value) 개념과 밀접하게 연관되어 있습니다. 확률론에서 이산확률분포의 기댓값은 E(X) = Σ xi·P(xi)로 표현되는데, 이는 각 값에 확률을 가중치로 하는 가중평균과 동일한 형태입니다. 또한 베이즈 통계학에서 사전 정보의 신뢰도에 따라 가중치를 조정하는 베이즈 추정도 가중평균의 확장된 형태로 볼 수 있습니다.
금융/투자 포트폴리오 리스크 관리
VaR(Value at Risk) 계산 시 각 자산의 변동성을 투자 비중으로 가중평균하여 전체 포트폴리오의 리스크 측정
개별 자산의 리스크가 포트폴리오 전체에 미치는 영향을 정확히 반영하기 위해
교육/평가 종합성적 산출
대학 입시에서 내신 40%, 수능 50%, 면접 10%로 가중평균하여 최종 합격자 결정
각 평가 요소의 중요도가 다르므로 공정한 평가를 위해 차등 반영
경제/통계 물가지수 계산
소비자물가지수(CPI)에서 각 상품의 가중치를 가계 지출 비중으로 설정하여 전체 물가 변동률 측정
가계에서 많이 소비하는 상품의 가격 변화가 실제 생활에 미치는 영향이 크기 때문
품질관리 제품 품질 점수
자동차 품질 평가에서 안전성 50%, 연비 30%, 디자인 20%로 가중평균하여 종합 품질 점수 산출
소비자에게 중요한 요소별로 차등화된 평가가 필요하기 때문
다국적 기업 A사는 아시아, 유럽, 북미 3개 지역에서 사업을 운영하고 있으며, 각 지역의 매출 규모와 성장률이 다릅니다.
각 지역의 성과를 어떻게 종합하여 전사 차원의 성과를 평가할 것인가?
아시아: 매출 50억달러(성장률 15%), 유럽: 매출 30억달러(성장률 8%), 북미: 매출 70억달러(성장률 5%)
각 지역의 매출 비중을 가중치로 하여 성장률의 가중평균을 계산하였습니다.
아시아 33.3%(50/150), 유럽 20%(30/150), 북미 46.7%(70/150)의 가중치로 성장률 가중평균 = 0.333×15% + 0.2×8% + 0.467×5% = 5% + 1.6% + 2.33% = 8.93%
전사 가중평균 성장률 8.93%는 단순평균 9.33%보다 낮게 나타났으며, 이는 성장률이 높은 아시아 지역의 매출 비중이 상대적으로 작기 때문입니다.
가중평균을 통해 실제 사업 규모를 반영한 더 현실적인 성과 지표를 얻을 수 있었으며, 향후 아시아 지역 투자 확대 전략의 필요성을 확인했습니다.
Hardy, G. H., Littlewood, J. E. & Pólya, G. (1952), Inequalities, 2nd ed. (Cambridge University Press) — 가중평균(weighted mean)과 가중 산술·기하평균 부등식의 표준 문헌 
