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사분위수 (Quartiles)

마일스톤 학습법으로 단계별 완전 정복
통계
사분위수
중앙값
이상값
상자그림
분포분석
이 개념 직접 실험하기 — 박스플롯 시뮬레이터
이 학습을 통해 달성할 수 있는 목표
기초 이해
  • • 사분위수의 기본 개념과 Q1, Q2, Q3의 의미를 이해할 수 있다
  • • 데이터를 4등분하는 사분위수의 원리를 설명할 수 있다
  • • 간단한 데이터에서 사분위수를 계산할 수 있다
심화 학습
  • • 다양한 크기의 데이터에서 사분위수를 정확히 계산할 수 있다
  • • 사분위범위(IQR)의 개념을 이해하고 활용할 수 있다
  • • 상자그림의 구성 요소를 이해하고 해석할 수 있다
  • • 사분위수를 이용한 기본적인 이상값 탐지를 할 수 있다
실무 적용
  • • 1.5×IQR과 3×IQR 규칙을 활용한 체계적인 이상값 탐지를 할 수 있다
  • • 사분위수를 이용한 분포의 비대칭성 분석을 할 수 있다
  • • 여러 그룹 간 상자그림 비교를 통한 데이터 분석을 수행할 수 있다
  • • 실무 상황에서 사분위수 분석을 활용한 의사결정을 할 수 있다
한눈에 보기

사분위수(quartiles)는 데이터를 크기순으로 정렬해 4등분하는 세 구분점(Q1·Q2·Q3)으로, Q2는 중앙값이고 Q3−Q1은 중간 50%의 폭인 사분위범위(IQR)다.

이 내용은 너멜엠의 박스플롯 시뮬레이터에서 직접 실험으로 확인할 수 있습니다.

학습 로드맵

각 단계를 클릭하면 해당 학습 내용을 볼 수 있습니다

기초 이해
개념 정의와 기본 원리
약 30분
클릭
심화 학습
공식 유도와 다양한 예시
약 40분
클릭
실무 적용
실제 케이스와 고급 응용
약 50분

학습 진도 (완료한 단계)

0%

기초 단계: 사분위수란 무엇인가요?

난이도 3/5
약 30분

사분위수는 데이터를 크기 순으로 정렬했을 때 전체를 4등분하는 3개의 구분점입니다. 제1사분위수(Q1), 제2사분위수(Q2, 중앙값), 제3사분위수(Q3)로 구성되며, 데이터의 분포와 퍼짐 정도를 파악하는 데 사용됩니다.

사분위수
다이어그램이 말하는 것

●

Q1(25%), Q2(50%=중앙값), Q3(75%) — 데이터를 4등분하는 위치 지점

●

IQR = Q3 − Q1: 중간 50%의 산포 범위, 이상치에 강건한 산포 측도

●

박스 플롯(Box Plot)의 기본 구성 요소 — Tukey 1977 도입

상자그림 — 사분위수 · IQR · 이상값상자 = 중간 50%(Q1~Q3) · 상자 안 선 = 중앙값 · 울타리 = Q ± 1.5×IQRIQR = Q3 − Q1 = 17울타리 59(Q3+1.5·IQR)이상값 70Q1 16.5Q2 25Q3 33.501020304050607080
핵심 포인트
  • •
    데이터를 4등분하는 3개의 구분점
  • •
    Q1(25%), Q2(50%, 중앙값), Q3(75%)
  • •
    순서대로 정렬된 데이터에서만 의미 있음
  • •
    이상값에 영향받지 않는 강건한 통계량
간단한 예시

시험 점수 [65, 70, 75, 80, 85, 90, 95]에서 Q1=72.5점(하위 25%), Q2=80점(중앙값), Q3=87.5점(상위 25%) 입니다.

이해도 확인하기

정답:

사분위수는 순위에 기반한 통계량이므로, 극값이 있어도 순위는 크게 변하지 않기 때문입니다. 평균과 달리 이상값에 강건한 특성을 가집니다.

정답:

Q2는 항상 중앙값(median)과 같습니다. 데이터를 절반으로 나누는 지점이기 때문입니다.

사분위수 계산은 데이터 개수와 위치에 따라 달라집니다. 일반적으로 Q1은 (n+1)/4번째 위치, Q2는 (n+1)/2번째 위치, Q3는 3(n+1)/4번째 위치의 값입니다. 사분위범위(IQR)는 Q3-Q1로 계산되며, 중간 50% 데이터의 퍼짐 정도를 나타냅니다.

수학적 공식

n은 데이터 개수, IQR은 사분위범위(Interquartile Range)입니다. 위치가 정수가 아닌 경우 인접한 두 값의 평균을 사용합니다.

다양한 예시로 이해하기
예시 1: 홀수 개 데이터에서 사분위수 계산

9개 데이터: [12, 15, 18, 22, 25, 28, 32, 35, 40]

Q1 위치: (9+1)/4 = 2.5번째 → (15+18)/2 = 16.5
Q2 위치: (9+1)/2 = 5번째 → 25
Q3 위치: 3(9+1)/4 = 7.5번째 → (32+35)/2 = 33.5
IQR = 33.5 - 16.5 = 17

해답:

Q1=16.5, Q2=25, Q3=33.5, IQR=17

홀수 개 데이터에서는 중앙값(Q2)이 실제 데이터 값이 되고, Q1과 Q3는 보간법으로 계산됩니다. IQR=17은 중간 50%의 데이터 범위를 나타냅니다.

예시 2: 짝수 개 데이터에서 사분위수 계산

8개 데이터: [10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45]

Q1 위치: (8+1)/4 = 2.25번째 → 15 + 0.25×(20-15) = 16.25
Q2 위치: (8+1)/2 = 4.5번째 → (25+30)/2 = 27.5
Q3 위치: 3(8+1)/4 = 6.75번째 → 35 + 0.75×(40-35) = 38.75
IQR = 38.75 - 16.25 = 22.5

해답:

Q1=16.25, Q2=27.5, Q3=38.75, IQR=22.5

짝수 개 데이터에서는 선형 보간법으로 정확한 분위수를 계산합니다. IQR이 클수록 데이터의 변산성이 큽니다.

예시 3: 상자그림(Box Plot) 해석

상자그림의 구성 요소 이해

상자: Q1~Q3 구간 (중간 50% 데이터)
수염: Q1-1.5×IQR ~ Q3+1.5×IQR
이상값: 수염 범위를 벗어난 점들
중앙선: Q2(중앙값)

해답:

상자그림을 통해 데이터의 분포 형태, 이상값, 비대칭성을 한눈에 파악할 수 있습니다.

상자그림은 5개 요약 통계량(최솟값, Q1, Q2, Q3, 최댓값)을 한 번에 보여주어 데이터 분포의 전체적인 모습을 직관적으로 이해할 수 있게 해줍니다.

연습 문제

힌트:

IQR = Q3 − Q1을 먼저 구하고, Q3 + 1.5×IQR을 계산하세요.

정답:

59 (IQR = 17, 33.5 + 1.5×17 = 59)

해설:

IQR = 33.5 − 16.5 = 17이고, 위쪽 울타리 = Q3 + 1.5×IQR = 33.5 + 25.5 = 59입니다. 따라서 59를 초과하는 값(예: 70)은 이상값 후보로 표시됩니다. 아래쪽 울타리는 16.5 − 25.5 = −9로, 데이터가 양수라면 아래쪽 이상값은 없습니다.

힌트:

두 측도가 극단값에 반응하는 방식의 차이를 생각해 보세요.

정답:

이상값에 강건하다(극단값의 영향을 거의 받지 않는다).

해설:

IQR은 가운데 50%(Q1~Q3)만 보므로 양 끝의 극단값이 아무리 커도 값이 거의 변하지 않습니다. 반면 표준편차는 편차를 제곱하기 때문에 이상값 하나에도 크게 흔들립니다. 그래서 치우치거나 이상값이 있는 분포에서는 중앙값·IQR 묶음이 평균·표준편차보다 분포를 더 안정적으로 요약합니다.

힌트:

상자의 양 끝이 각각 어떤 사분위수인지 떠올려 보세요.

정답:

사분위범위(IQR = Q3 − Q1), 즉 가운데 50% 데이터의 폭

해설:

상자의 왼쪽 끝은 Q1, 오른쪽 끝은 Q3이므로 상자의 길이는 IQR입니다. 상자 안의 선은 중앙값(Q2)이고, 상자가 길수록 가운데 50% 데이터가 넓게 퍼져 있음을 뜻합니다. 상자 안에서 중앙값 선이 한쪽으로 치우쳐 있으면 분포의 비대칭을 시사합니다.

실제 사례 분석: 온라인 쇼핑몰 고객 행동 분석
배경

온라인 쇼핑몰에서 고객들의 월별 구매 금액 데이터를 분석하여 고객 세분화와 이상 구매 패턴을 파악하고자 합니다.

문제 상황

다양한 구매 패턴을 보이는 고객들을 효과적으로 세분화하고, 각 그룹에 맞는 차별화된 마케팅 전략을 수립해야 합니다.

데이터 설명

10,000명 고객의 월 구매 금액: Q1=50,000원, Q2=120,000원, Q3=250,000원, IQR=200,000원

분석 방법

사분위수와 IQR을 활용한 분포 분석 및 이상값 탐지 기법을 통해 고객 구매 패턴을 정량적으로 분석했습니다.

해결책 및 결과

1) 중간 50% 고객은 5만원~25만원 범위에서 구매
2) 이상값 기준: 50,000-1.5×200,000 = -250,000원(음수이므로 0원) 미만, 250,000+1.5×200,000 = 550,000원 초과
3) 월 55만원 이상 구매 고객은 VIP 고객으로 분류 가능
4) 분포가 우편향(Q3-Q2 > Q2-Q1)이므로 소수의 고액 구매 고객이 존재

고객을 일반 고객(Q1~Q3), VIP 고객(이상값), 저활동 고객(Q1 미만)으로 명확히 세분화할 수 있었습니다.

결론:

사분위수 분석을 통해 각 고객 세그먼트에 맞는 마케팅 전략을 수립할 수 있습니다. 또한 계절적 변화나 프로모션 효과를 사분위수 변화로 모니터링할 수 있습니다.

참고 문헌
  • Tukey, J. W. (1977), Exploratory Data Analysis (Addison-Wesley) — 상자그림·다섯 수치 요약·1.5×IQR 이상값 규칙을 도입한 표준 문헌
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